平方和

平方和指有限或無限個正整數的平方數之和.

公式

 * 當n為正整數時,$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

數學歸納法
$$n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n(n-1)$$ $$=n^2+(n-1)^2+n^2-n$$ $$=2n^2+(n-1)^2-n$$ $$2^3-1^3=2(2^2)+1^2-2$$ $$3^3-2^3=2(3^2)+2^2-3$$ $$4^3-3^3=2(4^2)+3^2-4$$ ... $$n^3-(n-1)^3=2n^2+(n-1)^2-n$$ $$n^3-1^3=2(2^2+3^2+4^2+...+n^2)+[1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)$$ $$n^3-1^3=[2(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2]+[(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-n^2-(2+3+4+...+n)$$ $$n^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1$$ $$n^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-1-n^2-\frac{n(n+1)}{2}$$ $$n^3+n^2+\frac{n(n+1)}{2}=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$$ $$n(n^2+n+\frac{n+1}{2})=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$$ $$n(n+1)(n+\frac{1}{2})=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$$ $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$$ $$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
 * 先利用立方差公式：
 * 於是有：
 * 將上述等式疊加，便得：
 * 於是,得出：
 * 所以：