2014聯校數學比賽個人賽初級組試題

2014聯校數學比賽個人賽初級組試題共有8頁. (英文版：按此)

參賽者須知
 全卷共有19題，全卷滿分為200分.  在回答乙部份時，參賽者應將計算過程、證明及最後答案寫在個體項目答題紙(2)上.  如有需要，可在每張紙的背面書寫，及向監考員索取附加答題紙 本卷全部題目均需作答.  除非特別指明，本卷內所有數字皆以十進制表示.  除非特別指明，所有答案皆應以十進制的精確值表示，並化至最簡. 不接受近似值.  不可以使用計算機.  本卷內的附圖未必依比例繪成. </li> </ol>

甲部.短題目

 * 本部份共100分.
 * 只需填寫答案在供應的答題紙(1)上，不必詳列步驟.

六分題

 * Q1. 求右圖七個被標記的角的度數總和.
 * Q2. 求以下算式的值：

$$\frac{2^3-1}{1}+\frac{4^3-1}{3}+\frac{6^3-1}{5}+...+\frac{26^3-1}{25}$$
 * Q3. 定義 A$$\Delta$$B=A+B-AB-1. 求 [(1$$\Delta$$2)$$\Delta$$(3$$\Delta$$4)]$$\Delta$$[(5$$\Delta$$6)$$\Delta$$(7$$\Delta$$8)] 的值.


 * Q4. 如右圖，ABCDEFGH 為邊長為5的正方體. 設 M,N 分別為 BC 和 EF 的中點. 求四邊形 AMHN 的面積.
 * Q5. 已知5個不一定完全相異的正整數的和及積都是 x. 求 x 的所有可能值之積.
 * Q6. 請問 10! 有多少個正偶因數？
 * Q7. 在一 6×5 的方格紙上，求面積大於或等於 4 的長方形的數目. （注意：此處的｢長方形｣亦包含正方形）
 * Q8. 有一個有30道題的數學競賽，其評分方式非常怪異. 參賽者可於他答對的第一道題得1分，以後每答對一道題所得的分數比於上一道答對的題目所得的分數多1分. 此外，每答錯一道題倒扣1分，底分為30分. 如某題未有作答，則不會給予或倒扣任何分數. 假如每位參賽者最後得分都不相同，請問最多有多少名參賽者？
 * Q9. 振庭 打算從 {0,0} 走到 {8,8}. 他每一步都可以選擇上行一單位（與 y–軸平衡）或右行一單位（與 x–軸平衡）. 他需要經過 {1,1}, {3,2} 和 {7,7}. 求可行路徑的數目.


 * Q10. 考慮一邊長為6的正六角形. 求它的外接圓和內接圓的面積之差.

八分題

 * Q11. 已知 12!=479,001,600，求以下算式的值：

$$\frac{4^2-2}{4!}+\frac{5^2-2}{5!}+\frac{6^2-2}{6!}+...+\frac{12^2-2}{12!}$$
 * Q12. 設 ABCD 為一鷂形，邊長分別為5和12. 設 E,F,G,H 分別為 AB,BC,CD和DA 的中點. 求四邊形 EFGH 的面積的最大值.
 * Q13. 給定三個連續正奇數 n,n+2,n+4，他們的平方和為1111的倍數. 求n的最小值.
 * Q14. 芷瑜 和 迪文 輪流擲骰子， 芷瑜 先擲. 第一個先擲得總面值大於2的在這遊戲勝出（總面值指那人從第一次擲骰子起所得之面值之總和），求 芷瑜 勝出此遊戲的機率.
 * Q15. 有多少個七位數字能被11整除，而其數位數字之和又是45？

乙部.長題目

 * 本部份共100分.
 * 請在答題紙(2)上寫下詳盡解答. 正確答案及步驟可取得滿分，若無法解答題目，亦應寫下對該題目的想法. 評卷員會根據下列情況給予部分分數：

<ol>正確答案 (只佔約20%分數)</li>未完成解答</li>發現解答重點 或 有建設性想法</li>對非顯然的特殊情況作出討論</li></ol>


 * Q1. 已知 x 是正數. 求 $$x=2014+\frac{1}{2014+\frac{1}{2014+\frac{1}{2014+...}}}$$ 的值.

(25分)


 * Q2. 求 2016! 和 2013!-2014 的最大公因數.

(25分)


 * Q3. 把{1,2,...6}所有的非空子集標籤為1或2，使得對於任意兩個沒有共同元素的子集A,B，A,B標籤的數字之和減去A∪B標籤的數字永遠都是0或2. 請問有多少種方法標籤那些子集？
 * （定義 A∪B為A,B的聯集: 一元素 x 在集A∪B內當且僅當x在集A內或x在集B內. ）

(25分)


 * Q4. 如下圖，設ABCD為一等腰梯形，當中 AB//DC. 設E為AB的中點，F為EC上的一點使得∠FDC=∠ECB. 證明 AD=AF.
 * (提示：考慮三角形ADF和EDC)

(25分)

答案

 * 按此